평균값과 실효값 ( Mean Value and Effective Value )

* PWM을 생각하면서 이 파트를 이해하면 편하다.

 

평균값 ( Mean Value )

: 시간 영역에서 전체 구간의 전류의 모든 값을 더한 뒤 해당 시간으로 나누면 전류의 평균값을 구할 수 있다.

주기함수의 경우 한 주기동안의 평균값이 전체 시간의 평균값이 된다.

 

 

$$<i(t)>_{T_{1}}=<i(t)>=\frac{1}{T_{1}}\int_{0}^{T_{1}}i(t)dt$$

 

1. 단일 펄스 ( Single Pulse )

만약 주기 전체에서 값이 존재하는 것이 아닌 주기의 일부만 존재하는 경우는 값들의 합을 전체 주기로 나눠주어야 한다.

이는 평균값으로 아래와 같이 표현이 가능하다.

 

 

$$\begin{align*} <i(t)>_{T}& = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i(t)dt = \frac{1}{T}(\int_{0}^{T_{1}}i(t)dt+\int_{T_{1}}^{T}i(t)dt)\\ &= \frac{T_{1}}{T}\cdot \frac{1}{T_{1}}(\int_{0}^{T_{1}}i(t)dt+0)=\frac{T_{1}}{T}\cdot<i(t)>_{T_{1}} \end{align*}$$

 

2. 다중펄스 ( Multiple Pulse )

일정 주기 내에서 여러 펄스가 동시에 존재해도 동일한 방법으로 평균값을 구할 수 있다.

 

 

$$\begin{align*} <i(t)>_{T}& = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i(t)dt = \frac{T_{1}}{T}\cdot \frac{1}{T_{1}}\int_{T_{1}}i(t)dt + \frac{T_{2}}{T}\cdot \frac{1}{T_{2}}\int_{T_{2}}i(t)dt\\ &= \frac{T_{1}}{T}\cdot<i(t)>_{T_{1}}+ \frac{T_{2}}{T}\cdot<i(t)>_{T_{2}}\end{align*}$$

 

 

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실효값 ( Effective Value )

: DC의 저항에서 발생하는 전력과 같은 개념으로 교류회로 저항에서의 열 효과의 정도이다.

DC의 경우 전류를 이용한 전력 계산이 가능하지만 AC의 경우 sin, cos 형태로 전류가 구성되기 때문에 어떤값이 이용해야하는지 모른다.

이때 실효값의 개념을 사용하여 전력을 계산한다.

$$Q=\int_{0}^{T}RI^{2}dt=\int_{0}^{T}Ri^{2}dt \Rightarrow I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt}$$ 

$$Q=\int_{0}^{T}RV^{2}dt=\int_{0}^{T}Rv^{2}dt \Rightarrow V=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^{2}dt}$$

 

위 계산을 통해 실효값의 제곱은 전류(전압)의 제곱의 평균값과 같음을 알 수 있다.

$$I^{2}=<i^{2}>$$

$$V^{2}=<v^{2}>$$

 

주기 내에서 실효값의 제곱은 전류(전압)의 제곱의 평균값들의 합과 같다

또한 평균값을 구할때 처럼 주기의 일부분만 값을 가지면 전체 주기로 나워주므로 단일, 다중 펄스에서의 실효값을 계산할 수 있다.

 

단일펄스

 

$$\begin{align*} I^{2}(T) & = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt = \frac{T_{1}}{T}\cdot \frac{1}{T_{1}}\int_{0}^{T_{1}}i^{2}dt \\& = \frac{T_{1}}{T}\cdot I^{2}(T_{1})\Rightarrow I(T) = \sqrt{\frac{T_{1}}{T}}\cdot I(T_{1})\end{align*}$$

 

 

다중펄스

 

$$\begin{align*}I^{2}(T) & = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt = \frac{T_{1}}{T}\cdot \frac{1}{T_{1}}\int_{T_{1}}i^{2}dt+\frac{T_{2}}{T}\cdot \frac{1}{T_{1}}\int_{T_{2}}i^{2}dt \\ & = \frac{T_{1}}{T}\cdot I^{2}(T_{1})+\frac{T_{2}}{T}\cdot I^{2}(T_{2})\Rightarrow I(T) = \sqrt{\frac{T_{1}}{T}\cdot I^{2}(T_{1})+\frac{T_{2}}{T}\cdot I^{2}(T_{2})}\end{align*}$$

 

해당 실효값은 \(I_{rms}=\frac{1}{\sqrt{2}}I_{peak}\)과 같다.

 

평균전력 ( Average Power )

: 주기신호가 저항에 입력되는 경우 실효값을 통해 전력을 구해야 한다.

주기신호의 경우 교류신호인 만큼 평균소비전력을 구한다.

$$<P_{R}>=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Ri^{2}dt=R\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt=RI^{2}$$

$$<P_{R}>=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1}{R}v^{2}dt=\frac{1}{R}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^{2}dt=\frac{V^{2}}{R}$$

 

대칭성 ( Symmetry )

: 전력계산시 사용되는 전류의 실효값을 계산하는 과정에서 전류의 제곱이 사용되므로 대칭성을 이용하여 계산을 진행한다.

한 주기를 기준으로 같은 넓이의 그래프를 가지는 그래프 또는 파형이 같은 경우 실효값이 같게된다.

 

같은 실효값을 가지는 두 파형

 

대칭성을 이용하는 경우적분 구간을 줄여 계산할 수 있으며, 이 경우 신호를 구간별로 나누어 계산할 필요가 없다는 장점이 있다.

 

 

 

* 사진은 노의철, 정규범, 최남섭 공저, 문운당 출판사의 전력전자공학(제4판)에서 발췌하였습니다.