비정현 주기파 ( Non-Sinusoidal Periodic Wave )

비정현 주기파 ( Non-Sinusoidal Periodic Wave )

: 여러 정현파들의 합으로 표현 가능한 신호. 보통의 경우 기본 주파수의 정현파인 기본파와 기본 주파수의 정수배의 주파수를 갖는 정현파인 고조파로 구성된다.

비정현 주기파는 푸리에 급수를 통해 표현될 수 있다.

 

 

스위칭을 통한 기본파를 생성하는 과정에서 필연적으로 고조파가 생성된다. 이 경우 원하는 것은 기본파 뿐이라 고조파를 없애는 것이 중요하다.

 

푸리에 급수 ( Fourier Series )

: 주기를 갖는 비정현 주기파는 일반적으로 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnwt+b_{n}sinnwt)=DC+AC$$

 

계수들은 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$a_{0}=\frac{1}{T}f(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(wt)d(wt)$$

$$a_{n}=\frac{2}{T}f(t)cosnwtdt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(wt)cosnwtd(wt)$$

$$b_{n}=\frac{2}{T}f(t)sinnwtdt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(wt)sinnwtd(wt)$$

 

이를 계산해 보면 \(f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}sin(nwt+\phi_{n})=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}cos(nwt+\theta _{n})\)로 표현할 수 있으며 이 때 \(c_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}, \phi_{n}=(tan)^{-1}\frac{a_{n}}{b_{n}},\theta_{n}=(tan)^{-1}(-\frac{b_{n}}{a_{n}})\)이다.

 

기본적인 푸리에 급수 계수 공식은 아래와 같다.

대칭성	$$a_{n},b_{n}(\theta = wt)$$
우함수,\(f(t)=f(-t)\)	\(b_{n}=0, a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\theta)cos(n\theta)d\theta\)
기함수,\(f(t)=-f(-t)\)	\(a_{n}=0, b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\theta)sin(n\theta)d\theta\)
반파대칭,\(f(t)=-f(t\pm \frac{T}{2})\)	\(a_{n}=b_{n}=0\), n=짝수
	\(a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\theta)cos(n\theta)d\theta, n=odd\)
	\(b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\theta)sin(n\theta)d\theta, n=odd\)
우함수, 반파대칭	\(b_{n}=0, a_{n}=\begin{cases}  0& \text{ if } n= even\\  \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)cos(n\theta)d\theta& \text{ if } n= odd \end{cases}\)
기함수, 반파대칭	\(a_{n}=0, b_{n}=\begin{cases}  0& \text{ if } n= even\\  \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)sin(n\theta)d\theta& \text{ if } n= odd \end{cases}\)

 

실효값과 전력 ( RMS and Power )

: 전류 실효값

$$i(t)=I_{0}+\sqrt{2}[I_{1}sin(wt+\phi_{1})+I_{2}sin(wt+\phi_{2})I_{3}+sin(wt+\phi_{3})\cdots ]$$

$$I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt}=\sqrt{(I_{0})^{2}+(I_{1})^{2}+(I_{2})^{2}\cdots }$$

 

평균전력

$$v(t)=V_{0}+\sqrt{2}[V_{1}sin(wt+\alpha _{1})+V_{2}sin(2wt+\alpha_{2})V_{3}+sin(3wt+\alpha_{3})\cdots ]$$

$$i(t)=I_{0}+\sqrt{2}[I_{1}sin(wt+\beta _{1})+I_{2}sin(2wt+\beta_{2})I_{3}+sin(3wt+\beta_{3})\cdots ]$$

$$\phi_{n}=\alpha_{n}-\beta_{n} (n=1,2,3\cdots )$$

$$P=<p(t)>=<vi>=\frac{1}{T}vidt=P_{0}+P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots= \begin{cases}
P_{0}=V_{0}I_{0} & \text{ if } n=0 \\
P_{n}=V_{n}I_{n}cos\phi_{n} & \text{ if } n\neq 0 
\end{cases}$$

 

피상전력

$$S=VI=\sqrt{(V_{0})^2+(V_{1})^2+(V_{2})^2+\dots}\times\sqrt{(I_{0})^2+(I_{1})^2+(I_{2})^2+\dots}$$

 

역률

$$PF=\frac{<p(t)>}{S}=\frac{V_{0}I_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}V_{n}I_{n}cos\phi_{n}}{\sqrt{\sum_{n=0}^{\infty}(V_{n})^2}\sqrt{\sum_{n=0}^{\infty}(I_{n})^2}}$$

 

파형의 왜곡 ( Distortion of Waveform )

: 기본파의 정현파형이 일그리잔 형태로, 직류성분과 고조파 성분의 양에 따라 정해진다.

$$i=I_{DC}+i_{f}+i_{h}=i_{f}+i_{H}$$

 

해당 고조파의 실효값은 아래와 같다.

$$I^2=(I_{0})^2+(I_{1})^2+(I_{2})^2+\dots=(I_{1})^2+(I_{H})^2\begin{cases}
I_{DC}=I_{0} & \text{ if } n=0 \\
i_{frms}=I_{1} & \text{ if } n=1 \\
I_{h_nrms}=I_{n} & \text{ if } n=2,3,4\dots 
\end{cases}$$

 

전고조파왜율 ( Total Harmonic Distortion )

: 기본파와 전고조파의 비율. 전고조파가 얼마나 포함되어 있는가를 나타내는 비율. 낮을수록 전고조파가 없음.

전고조파왜율 = 전고조파 실효값 / 기본파 실효값

 

$$THD_{v}=\frac{V_{H}}{V_{1}}=\frac{\sqrt{V^2 - (V_{1})^2}}{\sqrt{V_{1}}}=\frac{\sum_{n\neq 1}^{}(V_{n}^2)}{V_{1}},THD_{i}=\frac{I_{H}}{I_{1}}=\frac{\sqrt{I^2 - (I_{1})^2}}{\sqrt{I_{1}}}=\frac{\sum_{n\neq 1}^{}(I_{n}^2)}{I_{1}}$$

 

왜곡률 ( Distortion Factor )

: 비정현 주기파에서 기본파의 포함된 정도를 나타내는 비율. 높을수록 전고조파가 없음.

왜곡률 = 기본파 실효값 / 실효값

 

$$DF_{i}=\frac{I_{1}}{I}=\frac{I_{1}}{\sqrt{(I_{1})^2+(I_{H})^2}}$$

 

왜곡률과 전고조파왜율의 관계는 아래와 같다.

$$DF_{i}=\sqrt{\frac{1}{1+(THD_{i})^2}}$$

 

* 사진은 노의철, 정규범, 최남섭 공저, 문운당 출판사의 전력전자공학(제4판)에서 발췌하였습니다.